A rotation vector is a convenient and most compact representation of a rotation matrix (since any rotation matrix has just 3 degrees of freedom).
罗德里格斯公式：
\[ R = \cos(\theta)I + (1 - \cos(\theta))rr^T + \sin(\theta)r^\wedge \]
其中 \( r = \begin{bmatrix} r_x \newline r_y \newline r_z \end{bmatrix} \) 为旋转轴单位向量，\(\theta\) 为旋转角度，\(I\) 为3x3单位矩阵， \( r^\wedge = \begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \newline r_z & 0 & -r_x \newline -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix} \) 为反对称矩阵。由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，因此 \(Rr = r\) 。
等式两边进行迹运算(NxN矩阵的迹指主对角线上各元素的和，标量的迹就是其本身，矩阵的迹等于其转置的迹)求解 \(\theta\)：
\[ \begin{split} tr(R) &= \cos(\theta) tr(I) + (1 - \cos(\theta)) tr(rr^T) + \sin(\theta) tr(r^\wedge) \newline &= 3\cos(\theta) + (1 - \cos(\theta)) \newline &= 1 + 2\cos(\theta) \newline \theta &= \arccos(\frac{tr(R) - 1}{2}) \end{split} \]
反向变换公式如下，根据 \(\theta\) 和 \(R\) 求解旋转向量 \(r\)：
\[ \sin(\theta) \begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \newline r_z & 0 & -r_x \newline -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix} = \frac{R - R^T}{2} \]