Computer Vision

仿射变换是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。基本的图像变换就是二维坐标的变换：从一个二维坐标 $(x, y)$ 到另一个二维坐标 $(u, v)$ 的线性变换： $$ \begin{split} u = a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \newline v = a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \end{split} $$ 写成矩阵的形式： $$\begin{bmatrix} u \newline v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \newline a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \newline y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{1} \newline c_{2} \end{bmatrix}$$ $$R=\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \newline a_{2} & b_{2} \end{bmatrix},t=\begin{bmatrix} c_{1} \newline c_{2} \end{bmatrix},T=\begin{bmatrix} R & t \end{bmatrix}$$ 矩阵 $T$ 就是仿射变换的变换矩阵，$R$ 为线性变换矩阵，$t$ 为平移矩阵，简单来说，仿射变换就是线性变换+平移。变换后直线依然是直线，平行线依然是平行线，直线间的相对位置关系不变，因此非共线的三个对应点便可确定唯一的一个仿射变换，线性变换 4 个自由度 + 平移 2 个自由度 →仿射变换自由度为 6。 ...

三维空间坐标的刚体变换可分为旋转和平移两个步骤，用 $R_{A}^{B} = \begin{bmatrix} u_{x} & v_{x} & w_{x} \newline u_{y} & v_{y} & w_{y} \newline u_{z} & v_{z} & w_{z} \end{bmatrix}$ 表示旋转矩阵，用 $t_{A}^{B} = \begin{bmatrix} t_{x} \newline t_{y} \newline t_{z} \end{bmatrix}$ 表示平移矩阵。坐标系A到B刚体变换形式为： $$\begin{bmatrix} x^{’} \newline y^{’} \newline z^{’} \end{bmatrix} = R_{A}^{B} \ast \begin{bmatrix} x \newline y \newline z \end{bmatrix} + t_{A}^{B}$$ 用齐次变换矩阵 $T_{A}^{B}$ 的表示形式为： $$\begin{bmatrix} x_{’} \newline y_{’} \newline z_{’} \newline 1 \end{bmatrix} = T_{A}^{B} \ast \begin{bmatrix} x \newline y \newline z \newline 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{A}^{B} & t_{A}^{B} \newline 0 & 1 \end{bmatrix} \ast \begin{bmatrix} x \newline y \newline z \newline 1 \end{bmatrix}$$ ...